دانلود نمونه سوال امتحان نهایی درس جبر و احتمال سال سوم رشته ریاضی شامل نمونه سوال سالهای 91 و 92 و 93 همراه با پاسخنامه

اختصاصی از فایلکو دانلود نمونه سوال امتحان نهایی درس جبر و احتمال سال سوم رشته ریاضی شامل نمونه سوال سالهای 91 و 92 و 93 همراه با پاسخنامه دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

دانلود نمونه سوال امتحان نهایی درس جبر و احتمال سال سوم رشته ریاضی شامل نمونه سوال سالهای 91 و 92 و 93 همراه با پاسخنامه 

کتاب مقدمه ای بر گروه های لی و جبر لی برایان هال - ویرایش دوم

اختصاصی از فایلکو کتاب مقدمه ای بر گروه های لی و جبر لی برایان هال - ویرایش دوم دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

کتاب مقدمه ای بر گروه های لی و جبر لی برایان هال - ویرایش دوم (2015)

نویسنده: Brian C.Hall

فایل PDF با بهترین کیفیت و با قابلیت جستجو و کپی برداری از متن است.

دانلود مقاله جبر

اختصاصی از فایلکو دانلود مقاله جبر دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

جبر از شاخه های اصلی علم ریاضیات که تاریخی بیش از 3000 سال دارد.
این علم در طول تاریخ تحولات بسیاری داشته و در حال حاضر شامل شاخه های زیادی است.تاریخچه این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل بر می گردد .
روش های هندسی برای حل برخی از معادلات جبری استفاده می گردیده است. در قرن اول میلادی نیز بحث در مورد برخی از معادلات جبری در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتای هندی دیده می شود.
کتاب جبر و المقابله ای خوارزمی اولین اثر کلاسیک در جبر می باشد که کلمه ی جبر یا Algebra از آن آمده است.خیام هم دیگر ریاضیدانان شهیر ایرانی است که در آثار خود جبر را از حساب تمیز داده و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم برداشت.
در قرن 16 میلادی، روش حل معادلات در جه سوم توسط دل فرو(Scipione del Ferro ) و معادلات درجه چهارم توسط فراری(Ludovico Ferrari ) کشف گردید
اواریست گلرا(Evariste Galois ) ریاضیدان فرانسوی که در 20 سالگی در جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید این علم داشت که نوشته های او سالها پس از مرگش، پس از مطالعه و بررسی توسط دیگر ریاضیدانان موجب تحول عظیم در این علم گردید.
نیلزهنریک ایل(Niels Henrik Abel ) نروژی اولین کسی بود که ثابت کرد معادلات درج 5 به بالا بوسیلة رادیکالهای حل پذیر نیستند.
کارل فریدریش گارس(Carl Friedrich Gauss )ریاضیدان آلمانی که تأثیرات ژرفی در توسعة شاخه های مختلف برداشته، سهم زیادی در پیشرفت این علم داشت که مهمترین آن همانا قضیه اساسی جبر می باشد.
پس از کارهای اویلر، لاگرانژ، گاوس، کوشی و بسیاری دیگر از بزرگترین ریاضیدانان تاریخ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف تناظرهای شاخه هایی از این علم با شاخه هایی از هندسه، این علم در شاخه های مختلف پیش رفت.
از جمله بزرگترین پیشرفت های جبر و ریاضیات از این قرن، کلاس بندی گروههای سادة متناهی می باشد.

کلاس بندی
جبر مقدماتی: دراین شاخه از جبر ویژگیهای اصل چهارگانه در دستگاه اعداد حقیقی ثبت می شود. علائمی تعریف می شوند که بوسیله آن اعداد ثابت و متغیرها از هم تفکیک می گردد و روشهایی که برای حل معادلات مورد استفاده قرار می گیرد.
جبر مجرد: این شاخه ساختار های جبری از قبیل گروهها، حلقه ها، و میدان ها تعریف می شوند و در مورد خصوصیات آنها بحث می شود این شاخه از جبر که حوزه پژوهش بسیاری از ریاضیدانان معاصر خود به شاخه های مخلتفی تقسیم می شود:
جبر جابجایی
جبر ناجابجایی

زندگی کارل فریدریش گاوس
کارل فریدریش گاوس فرزند باغبان فقیری از اهالی برونشویک آلمان بود که در تاریخ 30 آوریل سال 1777 متولد شد پدرش مردی شرافتمندو مادرش زنی فعال و باهوش بود و گاوس بیش از سه سال نداشت که پدرش در اثر اشتباهی که در حساب ورقه ای بود مطلع ساخت و بدین ترتیب توانست استعداد فوق العاده خود را در محاسبه نشان دهد هنگامی که گاوس در مدرسه ابتدایی مشغول تحصیل بود و بیش از ده سال نداشت یک روز معلم او سر کلاس شاگردان را وادار نمود که مجموع سلسله ای از اعداد را با هم جمع کنند ولی هنوز صورت مسئله تمام نشده بود که گاوس ده ساله گفت من مسئله را حل کردم او متوجه شده بودکه اختلافات مابین دو اعداد از این سلسله مقدار پست ثابت و خود به خود دستوری برای مجموع این نوع سلسله اعداد بوجود آورد معلم او سخت متعجب شد و اظهار داشت که این کودک از من قوی تر است و من دیگر معلوماتی ندارم که به او بیاموزم گاوس در سال 1795وارد دانشگاه گوتینگن شد و در 19سالگی به حل بسیاری از مسائل که برای اویلر و لاگرانژ بی جواب مانده بود و موفق گردید گاوس نیز همچون ارشمیدس و دکارت و ایزاک نیوتن در کودکی دچار حادثه ای گردید که ممکن بود ریاضیات را از وجود او محروم سازد وی در اولین سالهای کودکی بود و طغیان آب ترعه ای را که از کنار خانه محقر ایشان می گذشت سرریز کرده بود کودک در کنار آب بازی می کرد در ترعه افتاد و چیزی نمانده بود که غرق شود و اگر برحسب تصادف کارگری که در آن نزدیکی بود وی را نجات نمی داد زندگانی گاوس به همین جا خاتمه می یافت. روز 30 مارس 1976 یکی از روزهای تاریخی دوران زندگی گاوس است در این روز یعنی درست یکماه قبل از اینکه 19 ساله شودگاوس بطور قطع تصمیم به مطالعه در ریاضیات گرفت از همین روز بود که وی دفتر یادداشت علمی خود را ترتیب داد که یکی از ذیقیمت ترین مدارک تاریخ ریاضیات می باشد و اولین مسئله ای که در آن ثبت شده است همین اکتشاف بزرگ او می باشد.این دفتر یادداشت فقط در سال 1898 در معرض مطالعه عموم قرار گرفت یعنی 43 سال بعد از وفات گاوس. گاوس در 9 اکتبر 1805 در 28 سالگی با یوهانااشتهوف از اهالی شهر براونشواریگ ازدواج می کند و در نامه ایی که سه روز بعد از نامزدی خود به دوست دانشگاهی خویش ولنگانگ بولیه نوشته است از خوشبختی خویش چنین گفتگو می کند. زندگانی هنوز به صورت بهار ابدی با رنگهای جدید و درخشان در مقابل من ایت از این ازدواج سه فرزند نصیب او شد یوزف و مینا و لودویگ نام داشتند زنش در 11 اکتبر 1809 بعد از تولد لودویک وفات یافت. اگرچه سال بعد( 4 اوت 1810) بخاطر کودکانش از نو ازدواج کرد ولی سالها بعد از زن اول خود با تأثیر بسیار گفتگو می کرد زن دوم او که میناوالدگ نام داشت دوپسر و یک دختر برایش آورد. فقر و تنگدستی گاس از یک طرف و فوت زنش از طرف دیگر بدبینی عجیبی در او بوجود آورد بطوریکه تا آخر عمر این بدبینی از او جدا نگردید ولی با وجود همه این گرفتاریها و در حالیکه نوشته بود مرگ بر این زندگی ترجیح دارد. تئوری اجسام آسمانی روی مقاطع مخروطی حل خورشید را انتشار داد و در سال 1811 مسیر ستاره دنباله دار عظیمی را محاسبه نمود و در همین سال تئوری متغیر موهومی را بیان کرد. ولی از دیگران مخفی نگهداشت بطوریکه کوشی ریاضی دان معروف دوباره مجبور به کشف آن شد و بدین ترتیب 50 سال علم ریاضی عقب بود. در سال 18333 تلگراف الکتریکی را ساخت و دو کتاب یکی در سال 1827 بنام تجسسات عممی درباره سطوح منحنی و یکی در سالهای 1843 و 1846 تحت عنوان تجسماتی درباره مسائل مربوط به مساحی عالمی منتشر ساخت و در این هنگام بود که تمام مردم معتقد بودند که گاوس بزرگترین ریاضیدان جهان است ولی گاوس به این افتخارات اهمیت نمی داد و هیچکس را نزد خود نمی پذیرفت و از خانه خارج نمی شد و تنها درمدت27 سال فقط یکبار برای شرکت در کنگره علمی به برلین مسافرت کرد. گاوس فقط با زنی بنام سوفی ژرمن اهل فرانسه ارتباط داشت این زن در سال 1816 از طرف آکادمی علوم پاریس به اخذ جایزه بزرگ ریاضیات نائل شد و گاوس به آثار والتر اسکات و ژان پول علاقه فراوان داشت در 70 سالگی به فکر آموختن زبان روسی افتاد گاوس اکتشاف خود را طی سال های 1796 تا1714 در 19 صفحه که شامل 146 اکتشاف مهم بود در سال 1898 منتشر ساخت این جزوه چندصفحه ای گنجینه بزرگی بود که دانشمندان را به کلی حیران نمود.
گاوس اکتشاف خود را همیشه بصور ت معما یادداشت می نمود و معتقد بود که فقط برای خود مطالعه می کند. وی هنگامی که در دانشگاه تحصیل می کرد کتاب خود را بنام تجسسات حسابی تمام کرد و تئوری اعداد را که تا آن زمان شکل واقعی به خود نگرفته بود بصورت دانش حقیقی درآورد لاگرانژ ریاضیدان معروف در مورد کتاب گاوس چنین اظهار داشته است. کتابی را بعنوان تجسسات حسابی منتشر نموده اید مقام علمی شما را تا ردیف بزرگترین ریاضیدانان جهان بالا برده است و قسمتی از آن که شامل اکتشافات تحلیلی است تاکنون نظیرش بوجود نیامده است. مقارن با انتشار کتاب گاوس در سال 1801 پیازی ستاره کوچک سرس را کشف نموده بود و منجمین درصدد محاسبه مدار آن برآمدند ولی محاسبه آن به استفاده از اعدادی منجر شد که چند کیلومتر طول داشتند و گاوس ریاست رصدخانه گوتینگن را به دست آورد. گاوس در سالهای آخر زندگی مورد توجه و محبت عمومی قرار داشت ولی آنقدر که شایستگی داشت از نعمت خوشبختی بهره مند نبود. درا بتدای سال 1855 کم کم از تصلب عضلات قلب و اتساع حفره های ریوی رنج می برد و آثار آب آوردن در او هویدا شد. آخرین نامه ای که نوشت خطاب به سردیویه یوستر« فیزیکدان انگلیسی» و درباره اکتشاف تگراف الکتریکی بود صبح روز 23 فوریه 1855 در سن 78 سالگی با آرامش کامل جان سپرد در قلمرو ریاضیات نام او تا ابد جاوید خواهد ماند.

تأملی بر سرگذشت اورایست گالوا، ریاضیدان بدشناس فرانسوی
ریاضیدانان بزرگ معمولاً سرگذشتی غیرداستانی دارند یا بطور دقیق تر، داستان زندگی آنها را نوآوری ها و دستآوردهای ریاضیاتشان تشکیل میدهد که غیر ریاضیدان ها به سختی می توانند آن را درک کند بزرگترین استثناء این قاعده اواریست گالوا است. آنچه از زندگی گالوا میدانیم بیشتر شبیه به یک داستان رمانتیک و بلکه تراژدی است. زیرا در تراژدی حتماً نباید قهرمان داستان به طرز فیجعی کشته شود بلکه تراژدی را می توان بعنوان سرکوب نمودن نبوغ یک نابغه و در نظر نگرفتن و توجه نکردن به او نیز دانست.
اواریست گالوا را حتی کسانی که دستی بر ریاضیات دارند، هم نمی شناسند چه رسد به افراد عادی که بیشتر ریاضیدانان بزرگ و مشهوری چون نیوتن، اویلر و ...... را می شناسند. اواریست گالوا را حتی دانشجویان هم بخوبی نمی شناسند.
« اواریست گالوا را بهتر بشناسیم .....
ریاضیدان نابغه فرانسوی(1832-1811) از بنیانگذاران جبر نوین و پایه گذار نظریه گروههاست. وی در عمر کوتاه خود( 21 سال) توانست شرایط امکان حد معادلات بوسیله رادیکالها را بررسی کند.
گالوا در نزدیکی پاریس از والدین تحصیل کرده متولد شد و پس از تحصیل نزد مادرش، در 12 سالگی وارد مدرسه شد. در کارهای جاری مدرسه میانه حال بود.
اثر لژاندر دست یافت تحت تأثیر آن قرار گرفت. می گویند که او این کتاب را مانند یک داستان خوانده است و با Elements de Geometrie هنگامی که به کتاب یک بار خواندن بر آن احاطه یافته است.
او سپس به کارهای لاگرانژ و آبل پرداخت و در سن 15 سالگی یک خواننده ی حرفه ای بود و خود شروع به کشفیات کرد. متأسفانه کارهایش منظم نبود. و اکثر محاسبات را ذهنی انجام داده و فقط نتایج را یادداشت می کرد.
او دوبار برای پذیرفته شدن در مدرسه ی پلی تکنیک تلاش کرد و به دلیل عدم آمادگی اساسی رد شد. دراین رد شدنها خسران زیادی برای علم ریاضیات بود زیرا این مدرسه که ریاضیدانان بزرگی را تربیت کرده بود می توانست استعداد گالو را کشف کند و محیط لازم را برای وی فراهم آورد.
با این حال گالوا به کشفیات در معادلات چندجمله ای ادامه داد و در سال 1829 بعضی از نتایجش را به آکادمی علوم تسلیم نمود. داور، گشی بودکه توانایی درک آنها را داشت، ولی گشی دستنویس های گالوا را گم کرد و دیگر پیدا نشد!! گالوای شعاع کارهایش را در مسابقه سال 1830 جایزه ی بزرگ آکادمی در ریاضیات شرکت داد. ولی « فوریدا » مقاله را با خود به خانه برد و قبل از خواندن آن مقاله فوت کرد . پس از این ماجرا،گالوا نسخه ی دوم مقاله اش را به آکادمی فرستاد اما این بار« پواسون» آن را خواند و آن را ناقص اعلام کرد.
به خاطر این وقایع یا بخاطر آنکه پدرش طرفداری جمهوری بود. گالوا به تنقید از رژیم بوربونها دست زد و به گارد ملی، یعنی سازمان جمهوریخواهان، پیوست. دراین زمان فرانسه گرفتار آشوب های سیاسی بود و گالوا مرتب به زندان می افتد. اما در سال 1832 آزاد شد. در همین زمان گرفتار عشق دختری شد. جزئیات این امر روشن نیست، اما یک چیز واضح است که او درگیر یک دوئل برای رسیدن به این دختر شد. گالوا تصمیم گرفت این دوئل را انجام دهد گالوا در شب قبل از مرگش در این دوئل می نویسد:« من قربانی یک زن عشوه گر گمنام شده ام..... این یک نزاع اسف بار است که جان مرا می ستاند. آه چرا باید برای یک موضوع بی ارزش بمیرم...» او همچنین نامه ای به دوستش نوشت و کشفیات خود را بطور خلاصه بیان کرد. این یک سند غم انگیز و دل خراش بجا مانده از گالوا است که در حاشیه اش نوشته:« من وقت ندارم». این سند که با خواهش از ژاکوبی یا گاوس برای اینکه نظرشان را "نه در مورد درستی بلکه در مورد اهمیت این قضایا" بیان می کنند پایان می یابد.
صبح روز بعد این دوئل انجام شد دوئل با طپانچه در 25قدمی صورت گرفت. تیر به شکم گالوا خورد و به زمین افتاد تا آنکه دهقانی که از آنجا عبور می کرد او را به بیمارستان Montparmasse رساند . گالوا روز بعد یعنی31ماه می سال 1832 در سن 20 سالگی فوت کرد و در بخش عمومی قبرستان مونت پارناس به خاک سپرده شد.

محمدبن موسی خوارزمی
محمدبن موسی خوارزمی از دانشمدان بزرگ ریاضی و نجوم می باشد شهرت علمی خوارزمی مربوط به کارهایی است که در ریاضیات مخصوصاً در رشته جبر انجام داده بطوریکه هیچ یک از ریاضیدانان قرون وسطی مانند وی در فکر ریاضی تأثیر نداشته اند.
خوارزمی کارهای دیوفانتوس را در رشته جبر دنبال کرد و به بسط آن پرداخت، خود نیز کتابی در این رشته بنام(جبر و مقابله) نوشت معمولاً در حل معادلات دو عمل معمول است. خوارزمی این دو را تنفیح و تدوین کرد و از این راه به واردساختن جبر به مرحله علمی کمک شایانی انجام داد.
خدمات شایان دیگر خوارزمی به جهان علم این است که وی حساب هندی و ارقام هندی را در دنیای متمدن انتشار داد.
اروپائیان را با استعمال صفر برای نشان دادن مرتبه خالی آشنا ساخت. هنگامی که درقرن دوازدهم کتاب خوارزمی به زبان لاتین ترجمه شد این ارقام که به غلط در« ارقام عربی» نامیده می شوند از طریق آثار فیتونانجی به اروپا وارد گردید. همین ارقام است که انقلابی در ریاضیات بوجود آورد و هرگونه اعمال محاسباتی را مقدور ساخت. باری کتاب جبر و مقابله خورازمی قرنها در اروپا مأخذ و مرجع دانشمدان و محققین بوده و بوهاسن هبسبانیس و گراردوس کرمونسیس و رابرت جستری در قرن دوازدهم هر یک آن را به زبان لاتین ترجمه کردند. خوارزمی در سایر رشته های علوم و مخصوصاً نجوم هم کارهای جالب و سودمندی انجام داد. ازجمله دو کتاب در اصطرلاب نوشت.
اطلسی از نقشه آسمان و زمین تهیه کرد و نقشه های جغرافیایی بطلمیوس را اصلاح کرد.
آثار و تصنیفات خوارزمی
محمد بن موسی خوارزمی
این دانشمند بزرگ در سال 820- م ( در زمان خلافت بنی عباس در بغداد) در حدودبین سالهای 200-195 هجری کتابی به نام جبر و مقابله را نوشت که در آن به هیچ وجه از حروف و علامات استفاده نشده بود ولی حل معادلات را به دو طریق که ما امروز جمع جبری- عمل متشابه ونقل جمعی از یک طرف به طرف دیگر می نامیم انجام می داد. اگر نتوانیم محتوی این کتاب را هنوز علم جبر جدید بنامیم از آنجا که اساس این کتاب براستفاده از علائم اختصاری بوده است، میتوان لااقل پیدایش آن را یکی از مراحل مهم علم جبر دانست برای رسیدن به نتیجه قطعی فقط می بایست یک قدم برداشت از قرار معلوم این قدم چندان سهل نبوده است زیرا مدت هفت قرن و نیم طول کشید تا این کار آخری نیز انجام شد. بنابراین خوارزمی نخستین کسی است که علم جبر را پایه گذاری نموده و یکی از مراحل مهم این علم را پیدا نموده است. استخراج التاریخ زیج اول و زیج ثانی که این دو زیج بسند هند معروف و محل اعتماد اهل فن بوده است.
دیگر صوره الارض با رسم افریقیه می باشد و عمل الاسطرلاب مختصر من الحساب و الجبر والمقابله که در لندن چاپ شده که مشهورترین تألیفات اسلامی علم جبر همین کتاب جبر و مقاله خورازمی است که ظاهراً پس از اطلاع از علم جبر در یونان و ایران و هند جبر عربی را استخراج کرد همانطور که زیج خوارزمی جامع افکار و آرای علمای هند و ایران و یونان در آن موضوع می باشد و شارحین اسلامی کتاب خوارزمی را مکرر شرح داده اند. دیگر استخراج تاریخ الیهود و اعبادهم( تاریخ یهود و عبدهای آنان) بهرحال کتب یونانی( فلسفی و علمی) چون این علوم بیگانه به عربی ترجمه می شد و حساب هم جزء آن علوم ترجمه رایج گشت و مهندسان و هیئت شناسان حساب آموختند ولی کسی که فقط متخصص در حساب باشد میان مسلمانان کم بوده، از بزرگترین ما در تمدن اسلام آنکه حساب هندی و ارقام هندی را در دنیای متمدن انتشار دادند عربها این ارقام را هندی می گویند زیرا از هندیها آموخته اند و فرنگی ها آنرا عربی می نامند چون از عربها گرفته اند.
نخستین کسی که این ارقام را از هندی به عربی انتقال داد ابوجعفر محمدبن خوارزمی مذکور در فوق می باشد که او در جدولها رقم های هندسی را بکار برد و این کار در سال 197 هجری قمری انجام گرفت، این جدول ها مبناء و ماخذ کارهای منجمان بوده و از همان کلمه ی الخوارزم اروپائیان لفظ الگوریزم را ساخته اند. در زبانهای اروپایی که اساس محاسبه بر مبنای اعشاری ده را با الگوریتم می گویند اصل آن همان کلمه الخوارزمی است.
مسلمانان در وضع و شرح علوم از جمله علم جبر حق تقدم داشتند زیرا از ترجمه علوم یونانی، دو کتاب که در علم جبر که یکی تألیفات،دیوفانتوس و دیگری تألیف ابرخس بود و به عربی ترجمه شده بود بسیار ناچیز بوده است.
چنانکه اکنون علمای فن هم پس از بررسی و تحقیق در این موضوع تشخیص داده اند که دو کتاب مزبور( در عالم جبر) که از یونانی به عربی ترجمه شده چیز مهمی نبوده و اساس علم جبر را مسلمانان و عرب ها وضع کردند و اروپائیها علم جبر را از کتبی که مسلمین نوشته اند استفاده کرده اند.

عبارت جبری
به عبارت ریاضی که روی مجموعه اعداد بیان شده باشد، عبارت جبری گفته می شود. هر عبارت جبری شامل نمادها، و حرفهایی است که بیانگراعدادندو شامل نشانه های مربوط به روابط و عملیاتی است که باید روی آن اعداد عمل شود.( از این نظر که به کار بردن حروف و علامات نخستین بار در علم جبر معمول شده است در بعضی از نوشته ها، آثار، هر عبارت تحلیلی را عبارت جبری نامیده اند) در هر عبارت جبری، عددها، حرفهایی را که جا نگهدار عددهای معین و مشخص باشند مقادیر معلوم وحرف هایی را که نمایانگر عددهای غیرمشخص باشند مقادیر متغیر یا متغیرهای آن عبارت می نامند. به حرفهای نشان دهنده های مقادیر معلوم پارامتر نیز میگویند. هر عبارت جبری برحسب متغیرها، یا متغیرهای آن عدد می شود و برحسب تعداد متغیرها آن را عبارت یک متغیری،عبارت دومتغیری،.... یا عبارات چندمتغیری می نامند عبارت با یک متغیر x را با و عبارت با تغییر متغیرهای را با نشان می دهند مانند:




وقتی عبارت جبری را با نموده شده باشد حرفهای غیر از x موجود در آن بعنوان مقادیر معلوم یا پارامترها منظور می شدند. ممکن است که متغیر را با هر حرف دیگر غیراز x نشان داد و همچنین برای نمودن عبارت از حرفهای دیگری غیر از f استفاده کرد مانند:


اقسام عبارت های جبری:
عبارت های جبری برحسب نوع نماهای متغیر یا متغیرها دسته بندی می شوند:
1)عبارت های جبری را نسبت به متغیری یا حرفی از آن صحیح گویند هرگاه هیچ توان غیر صحیح یا منفی از این متغیر یا عامل شامل آن در عبارت وجود نداشته باشد، مانند عبارت:

که نسبت به x صحیح اما نسبت به یا c غیرصحیح است زیرا عامل های شامل این حرف ها دارای نمای منفی هستند.

اگر عبارات جبری نسبت به همه ی حرفهای خود صحیح باشد عبارت جبری صحیح نامیده می شود. مانند:


2) عبارت جبری را نسبت به حرفی از آن کسری گویند هرگاه اقلاً یک عامل شامل حرف مزبور دارای نمای منفی باشد، یعنی در عبارت کسری وجود داشته باشد که مخرج آن شامل آن حرف باشد. مانند:

3) عبارت جبری نسبت به حرفی از آن گویاست هرگاه هیچ توان غیرصحیح شامل آن حرف در عبارت وجود نداشته باشد:

هرگاه اقلاً یک توان غیرصحیح شامل حرفی در عبارت وجود داشته باشد،عبارت نسبت به این حرف گنگ می باشد. مانند عبارت که نسبت به xگنگ و نسبت به y گویا است. ( متغیرهایی که در زیر رادیکال قرار می گیرند دارای توان کسری هستند.)
4) عبارت جبری را نسبت به متغیری مثلثاتی یا لگاریتمی یا..... گویند هرگاه شامل تابع های مثلثاتی یا لگاریتم یا...... از متغیر مزبور باشد.


5) عبارت جبری را نسبت به یک متغیر نمایی گویند هرگاه این متغیر به صورت نما،در آن عبارت نموه شده باشد مثل:

نکته: عبارت های جبری مثلثاتی، لگاریتیم، نمایی جزء عبارت های جبری گنگ منظور می شوند. مگر آنکه تابع نسبت به خود متغیر نموده نشده باشد که در این حالت ممکن است گویا باشد. چنانکه عبارت که نسبت به x مثلثاتی است نسبت به صحیح و گویا است. زیرا با فرض داریم:

حوزه ی تعریف یا دامنه ی عبارت جبری:
دامنه ی هر عبارت جبری، مجموعه ی عددهایی است که عبارت موردنظر در ازای همه ی آن عددها قابل تعریف باشد.
عبارت جبری را به ازای یک مقدار از متغیر( یا مقادیری از متغیرها) معین گویند هرگاه به ازای آن مقدار و یا آن مقادیر کلیه ی عملیات بکاررفته قابل انجام باشد. در غیراین صورت عبارت جبری نامعین است.
در مجموعه ی اعداد حقیقی در صورتی که مخرج کسر به ازای مقادیری از متغیر صفر شود عبارت نامعین می باشد. همچنین یک عبارت جبری گنگ با فرجة زوج در صورتی نامعین است که به ازای مقادیری از متغیر عبارت زیر رادیکال منفی باشد.

عبارت جبری:
بازای مقادیری که باشد معین و بازای مقادیری که باشد نامعین است و حوزه ی تعریف آن می شود:

مقدار عددی عبارت جبری:
هر عبارت جبری روی مجموعه ی اعداد بیان شده است پس خود نیز نشان دهندة یک عدد است که این عدد برحسب مقادیری که به جای متغیر یا متغیرهای عبارت قرار گیرد تغییر می کند. اگر عبارتی نسبت به متغیر x بازای مقدار معلوم معین باشد. مقدار آن را بازای با نشان می دهند. در عبارت جبری مقصود از مقدار آن عبارت جبری است بازای و .....
مقدار عددی عبارت را بازای حساب کنید.

تبدیل متغیر:
در یک عبارت میتوان متغیری را با متغیر دیگر یا با عبارتی شامل متغیر جانشین کرد. در عبارت هرگاه x را با y جانشین کنیم را خواهیم داشت. اگر x را با جانشین کنیم را خواهیم داشت و اگر x را با خود عبارت جانشین کنیم را خواهیم داشت که آن را با نشان می دهند. هرگاه در عبارت مفروض باز هم x را با عبارت اخیر یعنی با جانشین کنیم حاصل با نشان داده می شود و این عمل را می توان تا هر مرتبه ادامه داد.
(1
f



نکته: هرگاه در یک عبارت جبری دو متغیر را با یکدیگر جابجا کنیم و مقدار عبارت فرق نکند مثلاً داشته باشیم:

می گوئیم که آن عبارت نسبت به آن دو متغیر متقارن است.

عبارت جبری متحد با صفر:
یک عبارت جبری متحد با صفر نامیده می شود هرگاه به ازای هر مقدار از متغیر یا متغیرهای آن عبارت برابر با صفر باشد. اگر عبارتی متحد با صفر باشد می نویسند: پس:


عبارت جبری که متحد با صفر باشد مستقل از متغیرهاست یعنی اگر آن را ساده کنیم متغیرها و عامل های دیگر، حذف می شوند استفاده از این ویژگی یک راه اثبات متحدبودن عبارتی با صفر است.
به فرض آنکه دو به دو متمایز باشند، عبارت زیر متحد با صفر است:

زیرا اگر بین کسرها مخرج مشترک بگیریم داریم:

دوعبارت جبری متحد:
دو عبارت جبری را با یکدیگر متحد گویند هرگاه بازای هر مقدار از متغیر یا متغیرها، حاصل آن دو عبارت با هم برابر باشند.

مثال: برای اثبات اتحاد:

طرف اول را عمل می کنیم که می شود:

یعنی از طرف اول می توان طرف دوم را بدست آورد و اتحاد برقرار است.

یک جمله ای
جمله ی جبری:
عبارت جبری صحیح که فقط شامل عمل ضرب و توان باشد جمله ای جبری نام دارد که معمولاً آنرا یک جمله ای می نامند. حاصلضرب عامل های عددی و عامل های معلوم جمله را ضریب آن جمله و مجموع نمادهای متغیرهای آن را درجه ی آن جمله می نامند. درجه ی جمله عدد صحیح نامنفی است. در حالتی که درجه ی جمله صفر باشد آن جمله برابر مقدار معلوم ضریب است. درجه ی جمله نسبت به یک متغیر برابر است با نمای این متغیر در آن جمله، و درجه ی جمله نسبت به هر متغیری که در آن جمله نباشد صفر است. جمله ای یک متغیری را به صورت کلی نشان می دهند که a ضریب و nدر جه ی آن است؛ عدد a حقیقی و n عدد صحیح نامنفی است.جمله ی چندمتغیری با ضریب a به صورت کلی نشان داده می شود. این جمله نسبت به x از درجه یn ،نسبت به y از درجه ی p نسبت به z از درجه ی q و نسبت به همة متغیرها از درجه ی است.
جمله ی نسبت به x از د رجه ی 3 و نسبت به هر متغیر دیگر از درجه ی صفر است و ضریب آن است.
جمله ی صفر:
در جمله ی یک متغیری یا چند متغیری ضریب a عدد حقیقی است که معمولاً مخالف صفر اختیار می شود هرگاه a، ضریب جمله، برابر صفر باشد، جمله نیز صفر است که آن را جمله ی صفر می نامند.

جمله ای متحد:
دو جمله را متحد یکدیگرگویند هرگاه اولاً ضریب های آنها با هم برابر باشند و ثانیاً هر متغیر که در یکی از آنهاست با همان درجه در دیگری نیز و جود داشته باشد. دو جمله متحد را معمولاً دوجمله ای متساوی گویند.


برای آنکه دو جمله ای با متحد باشند لازم وکافی است که:
، ، ،

جمله های متشابه:
دو جمله ی جبری را متشابه گویند هرگاه اختلاف آنها فقط در ضریب هایشان باشد مانند جمله های: یا مانند جمله های ، ، .
جمله های قرینه:
دو جمله که متشابه و ضریب های آنها دو عدد قرینه باشند دو جمله ی قرینه نامیده می شوند:
و
معکوس جمله:
عبارت جبری معکوس جمله و عبارت جبری معکوس جمله ی نامیده می شود.
عملیات بین جمله ها:
مجموع جبری چندجمله ی متشابه جمله ای است متشابه که ضریبش مجموع جبری ضریب های آن جمله هاست:


برای تفریق جمله ای از جملة دیگر قرینة جملة اول با جملة دوم جمع می شود. حاصلضرب چند جمله عبارت است از جمله ای که ضریبش حاصلضرب ضریب های آن جمله هاست و سایر عاملهای آن طبق قاعدة ضرب توان ها بدست می آیند:

تقسیم جمله ها به صورت عکس عمل ضرب آنها انجام می شود.

خارج قسمت دو جمله وقتی یک جمله است که نمای هر یک از متغیرها در مقسوم از نمای آن متغیر در مقسوم علیه کوچکتر نباشد وگرنه خارج قسمت، عبارت جبری کسری است.
جمله:
کسری:
در عمل توان یک جمله، ضریب به توان می رسد و نمای هر یک از متغیرها در نمای جدید ضرب می شود:

در عمل ریشه گرفتن از یک جمله ریشة ضریب حساب می شود و نمای هر یک از متغیرها بر شمارة ریشگی تقسیم می شود. ریشه ای از یک جمله وقتی یک جمله است که اولاً ریشة ضریب آن حقیقی و ثانیاً نمای هر یک از متغیرها بر شماره های ریشگی بخش پذیر باشد وگرنه یک عبارت جبری غیرحقیقی یا گنگ است.



غیرحقیقی
عبارت گنگ:
نکته: در مجموعه یک جمله ای ها عمل ضرب (و به تبع آن عمل توان) یک عمل درونی است اما عمل جمع یک عمل درونی نیست؛ مجموعه نسبت به عمل ضرب بسته است اما نسبت به عمل های جمع، تفریق، تقسیم و ریشگی بسته نیست.
در مجموعة یک جمله ای های متشابه کلاسهایی پدید می آیند که در هر یک از این کلاسها عمل جمع یک عمل درونی است.
چند جمله ای( بس جمله ای)
تعریف: مجموع جبری چند یک جمله ای که همه ی آنها با هم متشابه نباشند چندجمله ای نامیده می شود. جدیداً اصطلاح بس جمله ای را نیز برای چندجمله ای بکار برده اند. جمع جمله ای متشابه یک چند جمله ای را ساده کردن آن می گویند. یک چندجمله ای را ساده شده یا ساده نشدنی می نامند هرگاه هیچ دو جمله ی آن متشابه نباشند.
چندجمله ای با یک متغیر x را با یا و مانند آن و چندجمله ای با چند تغییر را به یا مانند آن نشان میدهند.
درجه چندجمله ای عبارت است از درجه جمله ای از آن که نسبت به دیگر جمله های آن بزرگترین درجه را داشته باشد مثلاً چند جمله ای نسبت به متغیرهای خود از درجة 5 است که همان درجه جمله از آن است ونسبت به دیگر جمله ها دارای بزرگترین در جه است. درجة چندجمله ای p با
یا با degp نشان داده می شود. همینطور برای مثال های بالا داریم:
و
مجموع ضریب های چندجمله ای:
هر جمله از چند جمله ای بصورت کلی که n عدد درست نامنفی است. بازای مقدار این جمله با a ضریب آن برابر است همچنین مجموع ضرایب چندجمله ای برابر است.
چندجمله ای همگن( متجانس)
یک چندجمله ای که همه ی جمله های آن نسبت به تمام متغیرهای، هم درجه باشند، چند جمله ای همگن می گویند. برای مثال، عبارت های و چند جمله ای های متجانس از درجه ی یک هستند و عبارت چند جمله ای متجانس از درجه ی چهار است.
از ویژگی های چندجمله ای همگن درجة n یکی آن است که اگر هر یک از متغیرهای آن در عدد ثابت k ضرب شود آن چندجمله ای در ضرب می گردد.

ویژگی دیگر آن است که هرگاه متغیری از چند جمله ای همگن را در نظر گرفته و هر یک از متغیرهای دیگر آن را با ضریب ثابتی از آن متغیر جانشین کنیم همه ی جمله های چندجمله ای شامل عامل توان nام آن متغیر خواهند بود.
از این ویژگی در حل دستگاه معادله های همگن استفاده می شود.
چندجمله ای متقارن
هرچند جمله ای را که با جابجا کردن هر دو متغیر از آن، تغییر نکند، یک چند جمله ای متقارن نامیده می شود.

ممکن است یک چندجمله ای هم متقارن و هم همگن باشد. مانند هر چند جمله ای حاصل از بسط
ویژگی مهم چندجمله ای متقارن آن است که می توان آنرا برحسب و بیان کرد. زیرا جمله های متقارن این چندجمله ای یا بصورت یا بصورت و می باشند در حالت اول اگر n زوج باشد:

و اگر n فرد باشد داریم:

در هر دو حالت مجموع توانهای متشابه y,x به مجموع توانهای متشابه آنها اما با درجة کوچکتر تبدیل می شود و با تکرار این تبدیل به چند جمله ای خواهیم رسید که شامل توانهایی از و است. مجموع دوجملة و نیز با فرض به تبدیل می شود به حالت اول منجر می شود.
ویژگی بالا برای چندجمله ای چند متغیری متقارن بدین صورت تعمیم می یابد که یک چنین چندجمله ای را می توان به چند جمله ای برحسب مجموع متغیرها، مجموع حاصل ضربهای دوبه دوی آنها، مجموع حاصل ضرب های سه بر سه آنها، .... و بالاخره حاصل ضرب آنها تبدیل کرد.
چند جمله ای زوج چند جمله فرد
چند جمله ای را نسبت به یک متغیر زوج گویند هرگاه با تبدیل آن متغیر به قرینه ی خود، چند جمله ای فرق نکند یعنی ، و اگر با تبدیل متغیر به قرینه ی خود، چندجمله ای نیز به قرینه ی خود تبدیل شود یعنی: ، آن چند جمله ای را نسبت به آن متغیر فرد گویند، ممکن است که یک چند جمله ای نه زوج باشد و نه فرد.
فرد زوج
چندجمله ای استاندارد:
چندجمله ای یک متغیری را معمولاً به دوگونه مرتب می کنند، یا برحسب توانهای نزولی که جمله ها را چنان دنبال هم قرار می دهند که به ترتیب درجه از بزرگ به کوچک قرار گیرند، یا برحسب توانهای صعودی که جمله ها را به ترتیب درجه از کوچک به بزرگ قرار میدهند. مانند:
مرتب نزولی
مرتب صعودی
چندجمله ای چندمتغیری را به گونه های مختلف می توان مرتب کرد: برحسب الفبای، برحسب درجه، و غیره. معمولاً ترتیب درجه و الفباء را توأماً به کار می برند.

چندجمله ای دومتغیری همگن چون نسبت به یک متغیر نزولی شود بسته به دیگری مرتب صعودی خواهد بود.
یک چندجمله ای را نرمال گویند هرگاه برحسب توان های نزولی مرتب شده و ضریب جمله ی بزرگترین درجه آن یک باشد.

چندجمله ای کامل:
چندجمله ای را نسبت به یک متغیر کامل گویند هرگاه اگر نسبت به این متغیر از درجه ی nاست، همه ی جمله های از در جه ی n تا صفر آن متغیر را دارا باشد. در غیراینصورت آن را نسبت به آن متغیر ناقص گویند.
بعنوان مثال، چندجمله ای
نسبت به x از در جة سوم و کامل است اما نسبت به y از درجة چهارم و ناقص است زیرا جمله ی توان صفر y را ندارد.
نمایش چندجمله ای یک متغیری
چندجمله ای را که از درجه ی nاست در حالت کلی به دو گونه نمایش می دهند؛ در گونه ی نخست ضریب های جمله ها را از بزرگترین در جه تا کوچکترین درجه به ترتیب الفبایی با و نشان میدهند.

نمونه های این گونه، نمایش دوجمله ای درجه ی اول، سه جمله ای درجه ی دوم، چهارجمله ای درجه ی سوم، و غیره است.
، ،
گونه ی دیگر نمایش چندجمله ای این است که ضریب هر جمله ی در جه ی i را با نشان می دهند.

در گونه اخیر معمولاً چند جمله ای را به ترتیب توانهای صعودی در نظر گرفته و آن را تنها با ضریب هایش نشان می دهند:

بنابراین اگر مثلاً داشته باشیم:

مقصود چندجمله ای زیر است:

که نسبت به x از درجه ی پنجم و ناقص است.
جمله ی درجه ی صفر چندجمله ای، یعنی (و یا I در گونه ی نخست) را جمله ی ثابت چندجمله ای می گویند. هرگاه غیر از این ضریب سایر ضریبها صفر باشند، چندجمله ای برابر با مقدار ثابت است که آن را اصطلاحاً چندجمله ای درجه ی صفر یا چندجمله ای ثابت می نامند؛

بنابراین هر مقدار ثابت را می توان چندجمله ای درجه ی صفر منظور کرد. که حالت ویژه ی آن چندجمله ای یک است. اگر همه ی ضریب های چندجمله ای برابر صفر باشند آن را چندجمله ای صفر می نامند که به ازای هر مقداری از متغیر برابر صفر است و می گوئیم متحد با صفر است.

مشخص کردن چندجمله ای یک متغیری
چندجمله ای که از درجه ی n باشد دارای ضریب است که با معلوم بودن این ضریب ها چندجمله ای مشخص می باشد. بنابراین برای مشخص کردن چندجمله ای درجه ی n ام تعداد شرط لازم است. یک مورد که بیشتر پیش می آید بدست آوردن چندجمله ای است که به ازای مقادیر معینی از متغیر برابر مقادیر معلومی باشد( نظیر آنکه تابعی را معلوم کنیم که نمودار آن بر نقطه های به مختصات معلوم بگذرد) هرگاه تعداد مقدار و مقادیر بازای این مقادیر نیز معلوم باشد:

نسبت به ضریب های چندجمله ای تعداد معادله با مجهول داریم که در نتیجه ضریب ها بدست می آیند چنانکه برای دوجمله ای درجه ی اول داریم:

و در نتیجه خواهیم داشت:

چندجمله ای لاگرانژ:
هرگاه روش قبل را که برای دوجمله ای درجه اول بکار بردیم برای چندجمله ای درجه ی n تعمیم دهیم فرمول زیر به نام چندجمله ای انترپلاسیون لاگرانژ را خواهیم داشت:

] توجه داشته باشید که در صورت عامل و در مخرج عامل وجود ندارد.[
بعنوان مثال برای چندجمله ای درجه ی دوم داریم:

چندجمله ای درجه ی دوم با شرایط و می شود:


نکته: هرگاه در چندجمله ای لاگرانژ مقادیر برابر u ،مثلاً x یا یک، انتخاب شوند اتحاد حاصل می شود. چنانکه برای حالت و به فرض ، ، و داریم:

عملیات روی چندجمله ای ها
جمع چندجمله ایها: حاصلجمع دو چندجمله ای چند جمله ای دیگر است که هر یک از جمله های غیرمتشابه و مجموع جمله های متشابه آنها را دربرداشته باشد.
با فرض:
مجموع آنها عبارت می شود از:

درجه چندجمله ای مجموع حداکثر برابر است با بزرگترین درجه چند جمله ایهای عامل جمع و حداقل می تواند صفر باشد؛
بزرگترین
عمل جمع چندجمله ایها جابجایی ( تعویض پذیر) و انجمنی( شرکت پذیر) است و چند جمله ای صفر برای آن عضو بی اثر است.
چندجمله ایهای قرینه: اگر مجموع دو چندجمله ای برابر صفر باشد، آنها را قرینة یکدیگر می نامند؛


تفریق چند جمله ایها:
تفاضل دو چندجمله ای برابر است با حاصل جمع چندجمله ای اول با قرینة چندجمله ای دوم. بنابراین عمل تفریق چندجمله ایها به عمل جمع آنها تبدیل می شود و همواره امکانپذیر است.
ترکیب خطی چندجمله ایها:
حاصل ضرب یک عدد در یک چندجمله ای به این ترتیب بدست می آید که آن عدد در هر یک از ضربهای چندجمله ای ضرب شود. حاصل ضرب عدد در چند جمله ای با نموده می شود.
هرگاه عددهای و..... به ترتیب در چندجمله ای های و .... ضرب شوند، مجموع حاصل ضربها یک چندجمله ای است به صورت:

که آنرا ترکیب خطی چندجمله ای مزبور با ضریبهای و .... می نامند.
هرگاه داشته باشیم:
ترکیب خطی با ضریبهای c ,b ,a و d این چند جمله ای ها می شود:


ضرب چندجمله ایها:
با توجه به توزیع پذیری ضرب یک جمله ایها نسبت به جمع آنها، عمل ضرب دو چندجمله ای به این ترتیب انجام می شود که هر یک از جمله های یکی از آنها را به ترتیب در هر یک از جمله های دیگر ضرب و حاصل ضربها را با هم جمع کرد.



درجه چندجمله ای حاصل ضرب برابر است با مجموع در جه های چندجمله ای های عامل های ضرب به شرط آنکه هیچیک از این عاملها صفر نباشد؛

عمل ضرب چندجمله ای های جابجایی و انجمنی و نسبت به جمع آنها پخشی( توزیع پذیر) است، چندجمله ای یک عضو بی اثر آن و چندجمله ای صفر عضو غیرعادی آن است؛ حاصلضرب هر چند جمله ای در صفر برابر صفر است و اگر حاصل ضرب دو یا چندجمله ای صفر باشد دست کم یکی از آن چندجمله ایها صفر است؛
یا
و
حاصل ضرب دو چندجمله ای فقط وقتی برابر یک است که هر یک از آنها از درجة صفر باشند و مقدار یکی وارون دیگری باشد. بعبارت دیگر عکس یک چندجمله ای که مقدار ثابت نباشد یک چندجمله ای نیست.

توان چندجمله ای:
اگر k عدد طبیعی باشد توان kام چندجمله ای درجة nام برابر است با حاصل ضرب k عامل برابر با که یک چندجمله ای از درجة kn است:

K عامل

تجزیه چندجمله ای ها
روشهای تجزیه
مفهوم تجزیه: دو یا چند، چندجمله ای را به سادگی می توان در هم ضرب کرد و حاصل را به صورت یک چندجمله ای مرتب نمود. اما عکس عمل، یعنی معلوم کردن اینکه یک چندجمله ای مفروض حاصلضرب چه عاملهایی است، به سادگی انجام نمی پذیرد،مگر اینکه اقلاً بتوان یکی از عامل ها را مشخص کرد.
تبدیل یک چندجمله ای به صورت ضرب دو یا چند عامل تجزیه آن چند جمله ای نامیده می شود تجزیه یک چندجمله ای وقتی کامل خواهد بود که هر یک از عامل های بدست آمده اول؛ یعنی تجزیه ناپذیر، باشد. پیش از این در مبحث بخش پذیری بیان شد که اول بودن یک چندجمله ای با تقریب مضربی از چندجمله ای ثابت همراه است. بنابراین اگر در تجزیه یک چندجمله ای عاملی را با چندجمله ای متناسب خود جانشین کنیم شکل تجزیه فرق نمی کند، چنانکه:
و و
یک صورت از تجزیه منظور می شوند. همچنین پیش از این یادآوری شد که اول بودن یک چندجمله ای منوط است به اینکه روی چه مجموعه یی تعریف شده باشد؛در مجموعه چندجمله ای ها با ضریب های حقیقی چندجمله ای درجه دوم که ریشه حقیقی نداشته باشد اول به حساب می آید مانند . در صورتی که همین چندجمله ای دو مجموعه چندجمله ای های با ضریبهای مختلط به صورت تجزیه می گردد، ثابت می شود که در مجموعه چندجمله ایهای یک متغیری با ضریب های حقیقی، دو جمله ای هایی درجه اول و سه جمله ای های درجه دومی که ریشه حقیقی ندارند اول می باشند و هرچند جمله ای غیر از آنها به ضرب عاملهایی که درجه اول یا درجه دوم باشند قابل تجزیه است.
] اگر چندجمله ای از درجه n و با ضریبهای حقیقی باشد دارای n ریشه است و در نتیجه برابر می شود با:

هرگاه همه این ریشه ها حقیقی باشند که قضیه ثابت است زیرا به ضرب n عامل درجه اول تجزیه شده است. اما اگر همه ریشه ها حقیقی نباشد مثلاً عدد مختلط باشد یک ریشه دیگر مختلط که مزدوج باشد وجود خواهد داشت. مثلاً که اگر باشد است و در نتیجه:


که سه جمله ای درجه دوم با ضریب های حقیقی است[ .
روش های تجزیه:
برای تجزیه چندجمله ای ها روشهای متداول است که بیشتر آنها ویژه چندجمله ای های به شکل معین اند برای تجزیه چندجمله ای مفروضی که به شکل های شناخته شده نباشد باید روشهای ابتکاری بکار برد. یا آن چند جمله ای را با تبدیلاتی به شکلی شناخته شده درآورد، یا اینکه روشی جدید را یافت که راه را برای تجزیه چندجمله ای های دیگر از آنگونه نیز باز خواهد کرد. روشهایی هم یافت می شود که ظاهراً برای انواع چندجمله ای ها عمومیت دارند اما کاربرد آنها در بیشتر موارد به بن بست برمی خورد. اهمیت تجزیه در آن است که بدان وسیله می توان ریشه های چندجمله ای مفروض را بدست آورد. اما گاهی روشی که برای تجزیه آن چندجمله ای بکار می رود بدانجا می انجامد که باید ریشه های آن چندجمله ای شناخته شده باشد و در نتیجه بن بست پیش می آید
روش فاکتورگیری: استفاده از عامل مشترک جمله های عبارت مفروض:
عبارت را در نظر می گیریم. چنانکه ملاحظه می شود هر یک از جمله های عبارت مفروض، درجمله مشترک هستند. از اینجا می توان نوشت:

استفاده از اتحادها
در بیشتر اتحادهای معروف یک طرف بصورت توان یا حاصلضرب عاملها است. هرگاه چندجمله ای مفروض به شکل طرف دیگر یکی از این اتحادها باشد از راه مقایسه جمله ها می توان عامل های ضرب یا توان رامشخص کرده و چندجمله ای را تجزیه کرد. در این میان آنچه بیشتر بکار می رود تجزیه چندجمله ای است که به شکل تفاضل دو توان مشابه درآید.
در چند جمله ای صرف نظر از جمله بقیه عبارت به شکل بسط حاصل از است و در نتیجه چندجمله ای مفروض به صورت زیر تبدیل می شود:



دو جمله ای بر بخش پذیر است و در مرحله اول چنین تجزیه می شود:

در مرحله دوم چندجمله ای پرانتز دوم را با روشهای ضریب های نامعین تجزیه می کنیم که خواهیم داشت:

هر یک از سه جلمه ای های درجه دوم بدست آمده را چه نسبت به x و چه نسبت به y درنظر بگیریم مبین آن منفی خواهد شد بنابراین تجزیه بالا کامل است.
چندجمله ای هایی به ظاهر به شکل بسط حاصل از یک اتحاد نیستند. اما می توان با انجام دادن تبدیلاتی در آنها، مثلاً تبدیل یک جمله به مجموع جبری دو یا چند جمله دیگر یا افزودن دو جمله قرینه و غیره آنها به چنان شکلی درآورد.
3) دسته بندی عبارتها: برای آشنایی با این روش به مثالهای زیر توجه کنید:
مثال 1:

ویا:

بطوریکه ملاحظه می شود عبارت M به دو دسته تقسیم و سپس با استفاده از اتحاد مزدوج به حاصل ضرب دو عبارت بسیط تجزیه شد.






عامل های مشترک چندجمله ایها:
باتوجه به مثالهای فوق، عبارت عامل مشترک چندجمله ایهای Q,S است یعنی دو عبارت Q,S بر عبارت بخش پذیر هستند. به این ترتیب عبارت عامل مشترک چندجمله ای Q,Sاست هر گاه دو عبارت عامل مشترکی نداشته باشد، آنها را نسبت به هم اول می گویند. بطورمثال عبارت های S,R در مثالهای فوق نسبت به هم اول هستند. همچنین عبارتهای Q,R و S نسبت به هم اول هستند. همچنین ممکن است عبارت ها دارای عاملهای مشترک متعددی باشند.
مثال: عبارت های ، و در عاملهای مشترک هستند.
بزرگترین مقسوم علیه مشترک چند عبارت:
درمثال فوق عبارت ، عامل مشترک عبارتهای A ،B و C است که بطور معمول با نماد نشان می دهند.
کوچکترین مضرب مشترک چند عبارت:
عبارتهای ، و را درنظر می گیریم. عبارت
کوچکترین عبارتی است که بر هر یک از سه عبارت مفروض بخش پذیر است. عبارت M را کوچکترین مضرب مشترک عبارتهای A،B وC می گویند و با نماد و یا بصورت مخفف(ک.م.م) نشان میدهند.خارج قسمت عبارت M بر هر یک از عبارتهای
A،B وC که به ترتیب: 6، و هستند، نسبت به هم اول می باشند. برای آشنایی با تعیین کوچکترین مضرب مشترک چند عبارت، به مثالهای زیر توجه کنید.
برای عبارتهای: و


روش ضرب های نامعین : هر چندجمله ای تجزیهپذیر را می تون با حاصلضرب چندجمله ای های با ضریب های نامعین در نظر گفته از راه متحد قراردادن دو طرف دستگاه معادله هایی را تشکیل داد که ضربهای نامعین جوابهای آن باشند. اگر بتوان این دستگاه را حل کرد و ضریبهای مجهول را بدست آورد، تجزیه چندجمله ای مفروض انجام گرفته است. این روش هم همواره قابل اعمال نیست. زیرا دستگاه معادله های شامل ضریب های مجهول را ه

حل تمرین جبر

اختصاصی از فایلکو حل تمرین جبر دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

حل تمرین جبر

270 نمونه سوال امتحانی جبر و احتمال + حل تشریحی

اختصاصی از فایلکو 270 نمونه سوال امتحانی جبر و احتمال + حل تشریحی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

270 نمونه سوال امتحان نهایی

طبقه بندی شده براساس فصول کتاب درسی

+

حل تشریحی

استدلال ریاضی

مجموعه ها

 احتمال و پدیده تصادفی 

احتمال ( اندازه گیری شانس)