لینک پرداخت و دانلود در "پایین مطلب"
فرمت فایل: word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحات:11
موسیقی و صوت ، قدرت سحر انگیز ریاضیات ...
در این نوشتار مختصر سعی کردیم به طور ساده و نه زیاد تخصصی ؛ به ریشه ریاضی صوت و موسیقی بپردازیم تا ببینیم که این شاخه از علم چه قدرت وصف نا پذیری در توصیف طبیعت دارد ، ابزار های قدرتمند ریاضی که سالها بعد از اختراعشان ما را در توصیف و توجیه پدیده های طبیعی یاری می کنند...
حدود سال 1800 ژان باپتیست فوریه مسئله سریهای مثلثاتی ( که تا قبل از این روی آن بسیار کار شده بود و به دلایلی توسط ژوزف لویی لاگرانژ و سایرین شدیدا مورد انتقاد قرار گرفته بود) را ارائه داد :
هر تابع متناوب را می توان با یک سری مثلثاتی از توابع سینوسی که فرکانسهایشان از نظر هارمونیکی مرتبط هستند نمایش داد...
اما استدلالهای ریاضی فوریه دقیق نبود ، و اشکال عمده ای که بر آن وارد بود تابع متناوبِ نا پیوسته ی موج مربعی بود ؛ چگونه ممکن بود مجموعی از توابع پیوسته سینوسی ، به یک تابع ناپیوسته همگرا شوند؟ یا توابعی که گوشه دارند ، مثل موج مثلثی . واقعا چطور ممکن است؟
ولی واقعا اینگونه هست . به هر حال دانشمندان بزرگ دیگری روی این مسئله کار کردند (که وارد جزئیات نمی شویم) و آن را تکمیل کردند تا این که امروزه سریهای مثلثاتی به نام سری های فوریه خوانده می شوند :
هر تابع متناوب (دارای شرایطی موسوم به شرایط دیریکله) را می توان با مجموع وزن دار هارمونیک های سینوسی نمایش داد...
منظور از وزن ، همان ضرییب (اندازه) تابع سینوسی است. (A sin(wt+d
A: ضریب یا وزن
w : فرکانس
d: فاز
به مجموعه ی این ضرایب ، ضرایب فوریه تابع می گویند . هر مجموعه از ضرایب فوریه ، تابعی متناوب را به طور یکتا مشخص می کند . (مگر با تغییراتی بسیار جزئی که عملا مهم نیستند.)
در سری فوریه ، یک فرکانس پایه وجود دارد که هارمونیک اصلی خوانده می شود و فرکانس سینوسی های دیگر مضارب صحیحی از این فرکانس پایه خواهند بود. بنابراین فرکانسهای موجود در یک تابع متناوب ، گسسته و همگی مضرب صحیحی از فرکانس پایه هستند ؛ که طیف فرکانسی گسسته نامیده می شود.
تا این لحظه مبحث صرفا ریاضی بود ، حال دو ساز مثل پیانو و فلوت را در نظر بگیرید:
یک نت خاص از هر دو ساز را به صدا در می آوریم، با دیرند و نواک مساوی . اگر نمودار تغییرات فشار آکوستیکی را بر حسب زمان برای دو صوت فوق رسم کنیم ، دقیقا با دو تابع متناوب مواجه می شویم.
البته رسم این نمودار شاید برای عموم مشکل باشد ؛ اما راههایی برای مشاهده هست. تغییرات فشار آکوستیکی ، با یک ترانسدیوسر (مثل میکروفون) به تغییرات یک سیگنال الکتریکی (مثل ولتاژ) بر حسب زمان تبدیل می شود ، که روی اوسیلوسکوپ قابل مشاهده است.
موسیقی و صوت قدرت سحر انگیز ریاضیات
