لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
فرمت فایل word و قابل ویرایش و پرینت
تعداد صفحات: 55
پیوستگــی
6 . 1 مفاهیم اولیه پیوستگی
توابع پیوستگی از لحاظ دیداری، توابعی هستند که در هیچ نقطه‌ای پارگی نداشته باشند. مثلاً تابع رسم شده در شکل 6 . 1 . 1، در نقطه a و b و c پیوسته نیست و در بقیه نقاط پیوسته است.
(شکل 6. 1. 1)
6. 1 . 1 تعریف ـ تابع f را در نقطه a پیوسته می‌گوئیم هرگاه، f(a) موجود باشد.
6. 1. 2 مثال ـ فرض کنید تابع f به صورت زیر تعریف شده است.
اگر
پس f در پیوسته است. اما،
بنابراین f در a=1 پیوسته نیست. نمودار تابع در شکل 6. 1. 2 رسم شده است.
(شکل 6. 1. 2)
6. 1. 3 مثال ـ در شکل نمودار تابع ، رسم شده است. شکل نشان می‌دهد که f در پیوسته نیست.
(شکل 6. 1. 3)
6. 1. 4 تبصره ـ فرق عمده‌ای بین ناپیوستگی تابع f در مثال 6. 1. 2 و تابع g در مثال 6. 1. 3 وجود دارد. اگر مقدار f را در نقطه ، 5 تعریف کنیم، یعنی قرار دهیم ، در این صورت تایع پیوسته می‌شود. ولی اگر را هر عددی اختیار کنیم، تابع نمی‌تواند پیوسته باشد.
اصطلاحاً ناپیوستگی f را رفع شدنی و ناپیوستگی g را رفع نشدنی می‌گوئیم.
6. 1. 5 تعریف ـ اگر f تابعی باشد که حول یک همسایگی از a تعریف شده باشد و در نقطه a ناپیوسته باشد. ناپیوستگی f را در نقطه a را رفع شدنی می‌گوئیم هرگاه موجود و متناهی بوده ولی . در غیر این صورت ناپیوستگی را رفع نشدنی می‌گوئیم.
در حالت ناپیوستگی رفع نشدنی، عدد را در صورت وجود جهش در نقطه می‌گوئیم.
6. 1. 6 مثال ـ تعیین کنید کدام یک از توابع زیر در نقطه داده شده ناپیوستگی دارند و از چه نوع؟
در در نقطه
حل ـ برای f داریم:
در نتیجه f ناپیوستگی از نوع رفع شدنی دارد.
در مورد g می‌توان نوشت:
داریم در نتیجه موجود نیست. بنابراین g ناپیوستگی از نوع رفع نشدنی دارد.
6. 1. 7 قضیه
الف) اگر f و g در نقطه a پیوسته باشند، آنگاه f+g ، f-g و fg نیز در نقطه a پیوسته هستند. و همینطور اگر نیز در a پیوسته است.
ب) اگر f در a پیوسته باشد و g در f(a) پیوسته باشد آنگاه gof در a پیوسته است.
اثبات ـ (الف) با توجه به قضیه‌های 5. 2. 5 و 5. 2. 6 واضح است. (ب) با توجه به قضیه 5. 2. 7 واضح است.
6. 1. 8 قضیه ـ (پیوستگی توابع خاص)
1) توابع Sin x ، Cos x در هر نقطه پیوسته هستند.
2) توابع Cot x+ tan x در هر نقطه که تعریف شده باشند، پیوسته‌اند.
3) توابع چند جمله‌ای همه جا پیوسته‌اند.
4) توابع کسری در هر نقطه که تعریف شده باشند پیوسته هستند.
5) تابع ، اگر n فرد باشد همه جا پیوسته است ولی اگر n زوج باشد به ازای هر ، در a پیوسته است.
اثبات ـ (1) و (2) از قضیه 5. 3. 5 نتیجه می‌شود، (3) از قضیه 5. 3. 1 نتیجه می‌شود، (4) با توجه به (3) و قضیه 6. 1. 7 اثبات می‌شود و (5) با توجه به قضیه 5. 3. 3 ثابت می‌شود.
6. 1. 9 مثال ـ توابع زیر را در نظر بگیرید:
الف)
ب)
ج)
نقاط ناپیوستگی را در صورت وجود پیدا کنید، نوع آنها را مشخص کنید و جهش آنها را در نقاط ناپیوستگی، در صورت وجود بیابید.
حل ـ (الف) تابع در فاصله‌های و پیوسته است. بنابراین، احتمالاً تابع در نقاط 3=x ، 1=x ناپیوستگی دارد. داریم:
تحقیق درباره ی تحقیق ریاضی عمومی 56 ص
