
مقالات ریاضی با فرمت DOC صفحات 8
مقدمه
ریاضیات زاییده ای احتیاجات است. آنچه در قدیمی ترین سند ریاضی وجود دارد، با همه سادگی سیر تکامل ریاضیات در طی قرن ها بوده است. یونانیان پیشرفت علم را تند کردند و عصری به وجود آوردند که شایسته عنوان «عصر طلایی» شد.
در این جا ابتدا پنج اصل از اصول پئانو در رابطه با اعداد طبیعی را بیان می کنیم و پس از آن به اختصار برخی دنباله ها را مورد بررسی قرار می دهیم.
عددهای طبیعی
عددهای 0و 1و 2و 3 و... نوع اصلی اعداد را تشکیل می دهند و اعداد طبیعی نامیده می شوند. البته برخی صفر را جزء این اعداد نمی دانند. تصوری که بی درنگ از اعداد طبیعی در مغز ما پیدا میشود. دستگاهی است که به هر عدد آن از این راه می توان دست یافت که از صفر شروع کنیم و هر چند بار لازم باشد 1 بیفزاییم. پئانو، دانشمند ایتالیایی، اولین کسی بود که قوانین اصلی اعداد طبیعی را به صورت اصل موضوعی سازمان بخشید.
مجموعهی پنج اصل موضوعی او شایان توجه است. اصول پئانو را چنین می توان بیان کرد :
- صفر عددی است طبیعی
- تالی (عدد بلافاصله بعد از) هر عدد طبیعی، عددی است طبیعی
- هیچ دو عدد طبیعی متمایز یک تالی ندارند
- صفر تالی هیچ عدد طبیعی نیست
- اگر خاصه یی دربارهی صفر صادق باشد و اگر در صورت صادق بودن دربارهی یک عدد طبیعی در رابطه با تالی آن هم صدق کند، دربارهی همهی اعداد طبیعی صادق خواهد بود.
از اصل ها می توان نتیجه گرفت که شمارهی اعداد طبیعی پایانی ندارد و این رشته نه متوقف میگردد و نه دور می زند زیرا که صفر تالی هیچ عددی نیست.
دنباله
کلمهی دنباله در زبان روزمره برای بیان توالی اشیاع و یا وقایعی به کار می رود که با ترتیبی آرایش یافته باشند. در ریاضیات این لغت معنی فنی خاصی دارد. لغت دنباله را به عنوان اصطلاحی می گیرند که یک مجموعه از اشیایی را مشخص می کند، که با ترتیبی آراسته شده اند که هر عدد و یا جمله از آن با یک قانون یکسان به دنبال جملهی قبلی می آید.
برای مثال : در یک مسابقه وزنه برداری، در حرکت دو ضرب، (8) نفر شرکت داشتند، و نفرات اول تا هشتم توانسته به ترتیب وزنه های زیر را بلند کنند که به صورت مجموعه از زوج های مرتب نشان می دهیم :
اینک اعداد 5/237 و 230 و 240 و 225 و 220 و 200 و 215 و 210 را یک دنباله می گوییم.
این دنباله شامل (8) عدد است که مربوط به 8 نفر وزنه بردار است. هر یک از وزنه برداران به یک عدد از دنباله بالا مربوط شده اند، می توان گفت یک تناظر یک به یک بین نفرات وزنه بردار و وزنه های برداشته شده توسط آن ها وجود دارد، چون تعداد جمله های این دنباله 8 تا است لذا به این دنباله، دنبالهی متناهی می گوییم، چنانچه تعداد جملات یک دنباله بی شمار باشد آن دنباله را دنباله نامتناهی می گوییم.
جمله عمومی دنباله
- جملهی (n) ام دنباله را با an نشان می دهیم، این جمله را جمله عمومی دنباله می گوییم. اگر جملهی عمومی یک دنباله معلوم باشد، همهی جمله های دنباله از روی جمله عمومی دنباله با قراردادن ....و3و2و1 = n معلوم می شوند.
مثلاً اگر جملهی عمومی دنباله ای به صورت باشد. آن گاه می توان نوشت :
در نتیجه اعداد ... و و... و را یک دنباله با جملهی عمومی مینامیم.
- گاهی، دنباله را با یک رابطه بین جمله (n) ام و جمله (n-1) ام یا با یک رابطه بین جمله (n) ام و جملات قبل از آن تعریف می کنند.
ریاضیات