دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .
مفاهیم اساسی
مفهوم تابع
طبق تعریفی که اویلر در 1749 به دست داده است , تابع اغلب به عنوان کمیت متغیر variable quantity ی که وابسته به کمیت متغیر دیگری است توضیح داده می شود. تعریفی چنین از مفهوم تابع برای مقاصد بسیاری کفایت می کند , اما در دوران گسترش بیشتری از ریاضیات آشکار شد که دادن محتوی عمومیتر و مجردتری به مفهوم تابع هم ضروری هم سودمند است .
ماهیت این مفهوم وابستگی کمیتها نیست که معمولاً مراد از آنها اعداد است , که میتوانند در رابطه «کمتر از یا بزرگتر از » مقایسه شوند , بلکه خود واقعیت تناظر correspondence است , که بر مبنای آن اشیای معینی به عنوان تخصیص یافته به اشیای معین دیگر در نظر گرفته می شود. به این ترتیب مفهوم تابع به تعاریف مجموعه نظریه ای set – theoretical definitions تحویل شده است .
تناظرها . هر میله فلزی هنگامی که گرم شود تغییر می کند . به عنوان مثال , فرض می کنیم یک میله مسی در 0 C به طور l0=200 واحد طول , u , مثلاً سانتیمتر یا اینچ باشد , در این صورت l , طول آن در درجه حرارت t0C توسط (t0.000016 +1)200=l مشخص می شود .
با این فرمول formula هر مقدار t بین 00C و 0C100 در تناظر با طول lی بین u200 و u200.32 قرار داده شده است .
به همین ترتیب با هر مقدار کالا مبلغ معینی پول , به عنوان قیمت فروش آن , متناظر است , و با هر شماره صفحه این کتاب , عددی متناظر است که تعداد حروف واقع در آن صفحه را بیان می کند .
تناظرها نه تنها بین اعداد , بلکه بطور عمومی تر , بین عنصرهای aی واقع در مجموعه A و عنصرهای bی واقع در مجموعه B وجود دارند ; به عنوان مثال , هر صندلی نمایش یک تئاتر متناظر با یک بلیط ورودی و یک تماشاچی خاص است . به این ترتیب , تناظر مورد بحث توسط رابطه ی Fی تعریف شده بر B A با حوزه تعریف A D(F) و برد B R(F) معین می شود .
اگر نسبت به این رابطه F به هر عنصر a از حوزه D(F) آن یک و تنها یک عنصر b از برد R(F) آن متناظر باشد , در این صورت رابطه را تک مداری single-value می گویند و در این صورت از تابع function یا نگاشت mapping از مجموعه A بتوی into مجموعه B صحبت می کنیم ( شکل )
عنصر b از برد تابع متناظر با عنصر نخستین a''original'' از حوزه آن را نگاره یا تصویر a''image'' می نامیم . در نتیجه تابع f مجموعه ای از جفتهای مرتب ''ordered pairs'' (a,b)ای است که عنصر اول آنها متعلق به حوزه تعریف D(F) و عنصر دوم آنها متعلق به برد R(F) است .
در مورد نگاشت از A بتوی B داریم ; D(F)=A یعنی , هر عنصر a A به عنوان عنصری نخستین رخ میدهد , و در مورد نگاشت از A بروی B ''onto'' , علاوه بر این , هر عنصرB b به عنوان نگاره ای مطرح می شود.
عنصر yی را که توسط تابع f به عنصر x تخصیص داده شده است , اغلب با f(x) نمایش می دهیم و در این صورت تناظر مورد بحث y=f(x) x نوشته می شود.
عنصر x را شناسه یا آرگومان ''argument'' و عنصر متناظر y آن را مقدار تابع f(x) ''function value'' در نقطه x می نامند .
حوزه تعریف ''domain of definition'' ( یا تنها حوزه ) تابع x y =f(x) را با X و برد آن را با Y نمایش می دهیم . اگر f تابعی از A بتوی B باشد , آنگاه واضحاً A X و B Y .
نمایش توابع
برای توصیف یک تابع باید حوزه تعریف و برد آن و قاعده ای برای تناظر به دست بدهیم .
نمودار. در نمودار تابع حوزه و برد از لحاظ نموداری نمایش داده می شوند و تناظر مربوطه با پیکانهایی مشخص می شود ( شکل ) . از هر عنصر حوزه تنها یک خط سودار خارج می شود , اما ممکن است یکی یا بیش از یکی از این خطها به هر عنصر برد ختم شود.
7 6 5 4 3 2 1 حوزه تعریف
برد
جدول مقادیر . قاعده تناظر را می توان به جای استفاده از نمودار در جدول مقادیر نیز قرار داد ( شکل ) . عنصرهای حوزه را در سطر بالای جدول وارد می کنیم و زیر هر یک , عنصر متناظر آن از برد را قرار می دهیم . جدول مقادیر تنها می تواند تعدادی متناهی از جفتهای مرتب را به دست دهد , و برای توصیف کامل تابع دلخواه F کفایت نمی کند .
توضیح با کلمات . اگر حوزه و برد یک تابع متناهی نباشد یا آنقدر وسیع باشند که دیگر نمایش نمودار یا جدول مقادیر آن بر صفحه کاغذ ممکن نباشد , در این صورت دادن توصیف دقیق ''exact description'' حوزه و برد , همراه با قاعده ای که به ازای هر عنصر حوزه بتوان عنصر متناظر آن از برد را به دست آورد , کافی است .
تابع را میتوان بدون استفاده از نمادهای ریاضی , به کمک جمله ای به زبان روزمره , بطور کامل تعریف کرد, به عنوان مثال , در صورتی که به هر مسابقه تقسیم بندی اول لیگ فوتبالی خارج قسمت تعداد بلیتهای ورودی و تعداد سکنه محلی که مسابقه در آنجام برقرار می شود را متناظر کنیم , تابعی را تعریف کرده ایم . این تابع می تواند اطلاع معینی از علاقه ای را به دست دهد که عامه مردم در بازیهای خاص نشان می دهند . مثالهای بسیاری از قواعد تناظر می توان یافت که کلاً یا جزئاً با کلمات تنظیم شده اند.
نمودار مختصاتی . نمودار مختصاتی ''diagram'' نیز یک تابع را نمایش می دهد اگر مجموعه ای از اعداد محور افقی را به عنوان حوزه تعریف و مجموعه ای از اعداد محور قائم را به عنوان برد انتخاب کرده به آرگومان x از حوزه تعریف دقیقاً آن مقدار از y را تخصیص دهیم که به ازای آنها نقطه با مختصات y, x نقطه ای از نمودار باشد . اما , هر خم بدلخواه رسم شده در یک دستگاه مختصات را نمی توان به عنوان نمایش تابع در نظر گرفت . تناظر داده شده به کمک خم باید تک مقداری ''single-valued'' باشد, و این درحالتی است که خم نمودار مختصاتی مورد بحث توسط هر خط موازی محور قائم حداکثر در یک نقطه قطع شده باشد .
فرمول. بیشترین روش به کار رفته در نمایش یک تابع در ریاضیات فرمول است. در این روش عناصر حوزه و برد تنها عددها , یا دست کم اشیای ریاضی ''mathematical objects'' اند که در مورد آنها میتوان قاعده های محاسبه '' rules of calculation ''ی مناسب به دست داد , به عنوان مثال :
y=sinx (3) ( 2) y=7x+2 (1)
در صورتیکه معلومات خاصی در مورد حوزه تعریف تابع نداده باشند , معمولاً آن اعدادی را متعلق به آن در نظر می گیریم که به آنها بتوان با استفاده از فرمول مورد بحث مقدار معینی منسوب کرد . این اعداد در حالت (1 ) و (3) جمیع اعداد حقیقی اند , و در حالت ( 2 ) جمیع اعداد حقیقی بزرگتر از یا برابر با 4 . در این صورت برد مربوطه توسط موارد زیر داده می شود :
(3) (2) (1)
محدودیت حوزه تعریف . حوزه تعریف را میتوان بدلخواه محدود کرد , به عنوان مثال ,
( به ازای ) * y=7x+2 (1)
( به ازای ) **y=7x+2 (2)
و غیره . در اینصورت برد مربوطه توسط موارد زیر داده می شود :
37> y 19- * (1)
و
2 > y > 54- ** (2)
در اینجا این موضوع اساسی است که , طبق تعریف مفهوم تابع , (1) , *(1) و ** (1) توابع کاملاً متفاوتی را نمایش می دهند .
زیرا دو مجموعه اگر دقیقاً دارای عنصرهای یکسان باشند برابرند , به همین ترتیب , دو تابع f2 ,f1 اگر دقیقاً هر جفت عنصر (x,y)ی که متعلق به f1 اند، , متعلق به f2 نیز باشند , و برعکس , برابرند و در حالت توابع (1) و , *(1) و ** (1) چنین نیست .
نمایش نموداری . از معادله تابع اغلب می توان به کمک جدولی از مقادیر به نمایش شهودی تابع مورد بحث رسید . به کمک یک دستگاه مختصات مسطح , نقطه P از آن صفحه برای اینکه نظیر هر جفت عدد (x,y) باشد بنا می شود و کلیت نقاط p به نمودار تابع موسوم است .
بنا به ماهیت حوزه تعریف و معادله تابع , دنباله ای از نقطه های مجزا , قسمتهایی جداگانه از خمها یا خم تابعی ''function curve'' متصلی را به دست می آوریم .
صورت صریح . صورت y=A(x) معادله یک تابع , که در آن A(x)عبارتی دلخواه است که , علاوه بر متغیر x , تنها شامل اعداد یا عناصر حوزه عددی مبنایی است , به صورت صریح ''explicit form'' از این حقیقت مشخص می شود که هر دو متغیر دست کم در یک طرف معادله رخ می دهند , به عنوان مثال :
Y=sinx . siny + x2(3) xy=1;(2) 4x-2y=6; (3)
= x2+xy+yx(5) x2+y2=16; (4)
اگر معادله تابعی به صورت صریح نمایش داده شده باشد , آنگاه معمولاً متغیری را که در یک طرف معادله مجزا شده است به عنوان وابسته و دیگری را به عنوان مستقل در نظر می گیریم , و اینکه این دو با t ,s; v, u; y,x یا به هر طریق دیگر نمایش داده شده باشند دارای اهمیت نیست .
اما کار در صورت ضمنی همواره چنین آشکار نیست , و هنگامی که y , x به کار رفته باشند , معمول آن است که y را به عنوان متغیر وابسته در نظر بگیریم , اما اغلب ذکر قرارداد گذاشته شده ضروری است , بخصوص زمانی که متغیرهای دیگر نیز به کار رفته باشند .
اما, این نیز ممکن است که هر دو متغیر واقع در یک معادله ضمنی را در موقعیتی یکسان در نظر بگیریم . توجه به این موضوع مهم است که معادله داده شده در صورت ضمنی را میتوان همواره به صورت صریح مرتب کرد . این کار در مثالهای (1) و (2) بسادگی انجام پذیر است , در این مورد به دست می آوریم :
y=1/x ( 2) y=2x-3 ( 1)
اما مثالهای (3) و (5) تمام کوششهای مربوط به انجام این کار را با شکست روبه رو می کند . در هر دو مثال نه y نه x را نمی توان مجزا کرد , واقعیت دیگری را آشکارا توسط مثال (4) نشان داده ایم . واضح است که x2 + y2=16 معادله دایره ای به شعاع 4 به مرکز مبدأ دستگاه مختصات است . در این حالت به ازای هر مقدار x دو مقدار y موجودند که در معادله صدق می کنند . با در نظر گرفتن y به عنوان متغیر وابسته , تناظری تعریف شده است که تک مقداری نیست . به این دلیل ( 4) معادله تابع نیست . از طرف دیگر, صورت صریح یک تابع را نمایش می دهد . اما تصور آن تنها شامل نیمدایره بالاست . معادله تابع متعلق به نیم دایره پایین عبارت است از :
گاهی دو تابع را به صورت ترکیب می کنیم . اما در نظر گرفتن این طریق از نوشتن آن به صورت معادله تابعی که چند مقداری ''many-valued'' است خطاست , توابع , بنا به تعریف , تناظرهایی تک مقداری اند.
نمایش پارامتری . این نمایش در وهله اول با دو معادله تابعی صریح سروکار دارد , که هر یک از آنها تابعی را مشخص می کند . حوزه تعریف در هر دو حالت یکی است . به این ترتیب , در صورت کلی داریم :
اکنون اگر به هر x0=f1(t0) مقدار y0=f2(t0) را تخصیص دهیم نگاشتی از برد f1 بروی برد f2 به دست می آوریم , که البته نیاز به تک مقداری بودن ندارد .
توابع مرکب . اگر عنصر a , تحت نگاشت G , متناظر با عنصر b , و عنصر b تحت نگاشت دیگر F , متناظر با عنصر c باشد , آنگاه با استفاده از کاربرد متوالی دو نگاشت G, F , نگاشتی را به دست می آوریم که تحت آن عنصر a متناظر با عنصر c است .
نگاشتی که به این ترتیب تعریف شده به حاصلضرب ''product'' ( یا ترکیب composition) دو نگاشت G ,F موسوم است , به این ترتیب F.G ( a, c) اگر و تنها اگر عنصر b ای چنان موجود باشد که .
واضح است که عنصر b باید هم متعلق به XF , حوزه تعریف F و هم متعلق به YG , برد G باشد (شکل). از این موضوع نتیجه می شود که F . G را می توان تنها اگر تشکیل داد . گذشته از این , ترتیب در انجام دادن نگاشتهای متوالی دارای اهمیت است , زیرا , در حالت کلی G.F F.G
اگر XF.G , XG , XF , به ترتیب , حوزه های تعریف و YF.G , YG , YF , بردهای F.G , G, F را نمایش دهند , آنگاه F . G را میتوان زمانی که
با دقت تشکیل داد .
بطور دقیقتر , XF.G تنها شامل عنصرهایی از XG است که مقادیر تابعی آنها نسبت به G واقع در ///// و YF.G تنها شامل عنصرهایی از YF است که آرگومانهای آنها نسبت به F واقع در //// باشد.
f.g , حاصلضرب دو تابع g ,f با معادلات تابعی y= g(x) , y=f(x) اغلب به صورت y= f [g(x)] نوشته و ترکیب '' compositum'' دو تابع f ,g , در همین ترتیب , نامیده می شود. در این رابطه g را اغلب تابع درونی '' inner'' و f را تابع برونی '' outer'' تابع مرکب f.g می نامند .
انواع خاص تابع
در مطالب بعدی تنها توابع مورد بررسی توابعی هستند که حوزه تعریف و برد آنها مشمول در مجموعه اعداد حقیقی اند . آنها را معمولاً توابع حقیقی '' real function'' می نامیم . بنا به ویژگیهای عمومی معینی , توابع حقیقی خاص را در گروههایی , به عنوان مثال , توابع یکنوا , کراندار , زوج , فرد , یا متناوب جمع می آوریم .
تابع یکنوا
تابع xy = f(x) را , در بازه a< x< b , یکنوای صعودی ''monotonic increasing'' می گوییم اگر به ازای x2 , بزرگترین مقدار بین دو مقدار دلخواه x2 , x1 ی واقع در این بازه مقدار تابعی f(x2) نیز همواره بزرگتر باشد , و به عبارت دیگر , اگر x1<x2 آنگاه f(x1) < f(x2) .
تابع را در بازه a<x<b یکنوای نزولی '' monotonic decreasing'' می گوییم اگر f(x1)> f(x2) هر گاه a<x1<x2<b .
توابع کراندار . تابع xy=f(x) را در یک بازه ( باز یا بسته ) کراندار گویند اگر عدد B>0 با این ویژگی موجود باشد که , به ازای هر مقدار x واقع در بازه مزبور , |f(x)|< B . بخصوص , اگر , به ازای هر مقدار x واقع در حوزه تعریف مورد بحث |f(x)|< B , آنگاه xy= f(x) را تابع کراندار ''bounded function '' می گویند .
توابع زوج و فرد. تابع xy= f(x) را زوج ''even'' گویند اگر , به ازای هر مقدار x واقع در حوزه تعریف آن , f(-x) = - f(x)
نمودار تابع زوج نسبت به محور y ها متقارن است . نمودار تابع فرد نسبت به مبدأ ( 0 , 0) متقارن است. نمودار مزبور تحت دوران 180 درجه حول این نقطه بر خودش منطبق می شود .
توابع متناوب . تابع ناثابت xy =f(x) را متناوب یا دوری می گوییم اگر عدد a>0 ی چنان موجود باشد که , به ازای هر مقدار ممکن x , f(x) = f(x+a) . در اینصورت این را نیز نتیجه می گیریم که f(x)= f(x-a) , f(x) =f(x+ 2a) و در حالت کلی , به ازای هر عدد صحیح n , تا زمانی که مقایر (x+na) متعلق به حوزه تعریف تابع باشند ,
f(x) = f(x+na) .
هر یک چنین عدد a ای را دوره تناوب ''period'' می نامیم , و کوچکترین عدد مثبت k را , که به ازای آن f(x)= f(x+k) , دوره تناوب اولیه primitive period'' '' تابع متناوب می گوییم .
نمایش نموداری یک تابع متناوب نموداری است که چون در سوی محور x ها به اندازه فاصله ای برابر با مضرب درستی از دوره تناوب انتقال یابد بر خودش منطبق می شود ( شکل ) .
معروفترین توابع متناوب توابع مثلثاتی ''trigonometric functions'' اند. از این توابع , توابع متناوب دیگری میتوان بنا کرد , به عنوان مثال توابع y= b sin (ax) با دارای دوره تناوب اند.
توابع مرکبی چون y= b1sin (a1x) + b2sin (a2x) به شرطی متناوب اند که نسبت a1 به a2 گویا باشد, یعنی , اگر a1/a2 = m/n که در آن n , m اعداد صحیح نسبت به هم اول اند , دوره تناوب تابع اول و دوره تناوب تابع دوم و نسبت آنها عبارت است از :
به این ترتیب n دوره تناوب از تابع اول دقیقاً متناظر با m دوره تناوب از تابع دوم است . در نتیجه تابع مجموع دارای دوره تناوب است .
وارون تابع ``````````````````````````````````````````````````
توابع وارون پذیر invertible functions'' '' . تناظر تک مقداری معین شده توسط تابع بین عناصر حوزه و عناصر برد , بر عکس به هر عنصر برد نیز یک یا بیش از یک عنصر حوزه را تخصیص می دهد.
توابعی که در آنها هر عنصر برد تنها یک بار به عنوان تصویر عنصری از حوزه رخ می دهد دارای اهمیتی ویژه اند , زیرا وارون تناظر آنها نیز تک مقدار است. در آنها به هر عنصر r از برد تنها یک عنصر d از حوزه تعلق دارد . در این حالت برد تابع مفروض f را میتوان به عنوان حوزه تابع جدید در نظر گرفت.
اگر تابع مفروش f تناظر dr = f(d) را مشخص کند , آنگاه در مورد تابع جدید داریم . به عبارت دیگر , اگر و تنها اگر .
توابعی که در مورد آنها به این معنی می توان تناظر بین حوزه X و برد Y را وارون کرد به توابع وارون پذیر موسوم اند . اینها تناظرهایی یک به یک x بروی Y اند. توابع یکنوا به رده توابع وارون پذیر متعلق اند : تابع یکنوا همواره وارون پذیر است .
از طرف دیگر , نیاز نیست تابع وارون پذیر لزوماً یکنوا باشد , به عنوان مثال , حوزه و برد ممکن است مجموعه هایی مرتب نباشند , بنابراین مفهوم یکنوایی تعریف نشده است . باز , تابع نایکنوا نیز میتواند وارون پذیر باشد , به عنوان نمونه اگر حوزه و برد شامل عنصرهایی به تعداد متناهی باشند . مثالی از این دست تابعی است که توسط جدول مقادیر زیر داده شده است:
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x
9 7 5 3 1 8 6 4 2 0 y
تابع وارون . اگر Y برد تابع وارون پذیر f را به عنوان حوزه تعریف تابع جدید ای در نظر بگیریم که بردش , X حوزه f است , و اگر تناظر تک مقداری بین مجموعه های Y, X داده شده توسط تابع f را وارون کنیم , آنگاه , تابع وارون ''inverse function '' تابع مفروض f را به دست می آوریم . تابع وارون خود وارون پذیر است .
با در نظر گرفت , dr = f(d) بسادگی می توان ملاحظه کرد که تابع وارون تابع وارون تابع مفروض f خود f است . به این ترتیب , موجه است که f و را توابع دو به دو وارون '' mutually inverse'' بنامیم .
نمودار تابع وارون . به علیت یکتایی نگاشتی که توسط تابع نمایش داده می شود , هر خط موازی محور y ها نمودار آن را تنها در یک نقطه قطع می کند . اگر تابع f(x) دارای تابع وارون (x) و بنابراین یک به یک باشد , آنگاه هر خط موازی محور xها نیز نمودار آن را تنها در یک نقطه قطع می کند. این خم هم تناظر xy هم تناظر yx را نمایش می دهد .
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 36 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
